sapidin

BAB III

I.       SISTEM PERSAMAAN LINIER

Sebuah garis di dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh sebuah persamaan yang berbentuk :

                                   

Sebuah persamaan semacam ini dinamakan persamaan linier dalam variabel x dan variabel y, secara lebih umum, maka kita mendefinisikan sebuah persamaan linier dalam n variabel x₁, x₂, ……, x_n sebagai sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

a₁x₁ + a₂x₂ + ….. + a_nx_n = b

      dimanaa a₁, a₂, ………., a_n dan b adalah konstanta – konstanta riel

      contoh 1.

      Yang berikut ini adalah persamaan – persamaan linier :

Perhatikan bahwa persamaan linier tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar variabel. Semua variabel hanya terdapat sampai dengan angka pertama dan tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometrik, fungsi logaritmik, atau untuk fungsi eksponensial. Yang beikut ini bukanlah persamaan linier :           

Sebuah pemecahan (solution) persamaan linier a₁x₁ + a₂x₂ + …….+ a_nx_n = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s₁, s₂, ……, s_n sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubsitusikan x₁ = s₁, x₂ = s₂, ….., x_n = s_n. Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.

a.      Persamaan Linier Dua Peubah

      Grafik persamaan linier dua peubah berbentuk garis lurus. Cara menggambarkan grafik ini dapat dilakukan dengan memilih titik-titik (minimal dua titik) yang teletak pada garis tersebut, kemudian menghubungkannya dengan sebuah garis lurus.

Contoh :

2x + 5y = 10

Penyelesaian :

Untuk menggambarkan garis dengan persamaan 2x + 5y = 10, terlebih dahulu kita tentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut. Biasanya, dipilih titik-titik yang merupakan titik potong garis dengan sumbu koordinat .

-          titik potong garis 2x + 5y = 10 dengan sumbu x diperoleh jika y = 0 sehingga x = 5. jadi, titik potongnya adalah  (5 , 0).

-          titik potong garis 2x + 5y = 10 dengan sumbu y diperoleh jika x = 0 sehingga y = 2. jadi, titik potongnya adalah  (0 , 2).

Hasil diatas dapat disajikan pada tabel :

x	y	(x,y)
0	2	(0,2)
5	0	(5,0)

b.      Sistem Persamaan Linier Dua Peubah

Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki pemecahan dikatakan tak konsistent (inconsistent). Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan , maka sistem persamaan tersebut dinamakan konsisten (consistent). Untuk melukiskan kemungkinan – kemungkinan yang dapat terjadi di dalam memecahkan sistem-sistem persamaan linier, tinjaulah sebuah sistem umum dari dua persamaan linier dalam bilangan – bilangan yang tidak diketahui x dan y

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

dimana a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, dan c₂ konstanta real, a₁ dan a₂ adalah koefisien dari peubah x, b₁ dan b₂ adalah koefisien dari peubah y.

Cara menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dapat digunakan metode subsitusi, eliminasi, determinan dan matrik

b.1 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Peubah dengan Metode Subsitusi

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah dengan metode subsitusi, langkah – langkahnya sebagai berikut :

Langkah 1 :

Pilih salah satu persamaan, kemudian nyatakan salah satu peubah persamaan tersebut ke dalam peubah yang lain sehingga diperoleh persamaan baru.

Langkah 2 :

Subsitusikan persamaan yang diperoleh pada langkah 1 kepersamaan yang lainnya sehingga diperoleh sebuah persamaan linier satu peubah. Kemudian, selesaikan persamaan tersebut sehingga diperoleh salah satu peubah.

Langkah 3

Subsitusikan nilai peubah yang diperoleh pada langkah 2 ke persamana yang diperoleh pada langkah 1 sehingga diperoleh nilai peubah keduanya.

Contoh :

2x + 3y = 4

2x – y = 4

Penyelesaian  :

2x + 3y = 4 ………………………………………………………………(1)

2x – y = 4 ………………………………………………………………………. (2)

Langkah 1

Dari persamaan (2), diperoleh 2x – y = 4  Û  y = 2x – 4 ……………………….(3)

Langkah 2

Persamaan (3) disubsitusikan kepersamaan (1), diperoleh :

       2x + 3y = 4

Û    2x + 3(2x – 4) = 4

Û    2x + 6x – 12 = 4

Û    8x = 16

Û    x= 2 ………………………………………………………………………..(4)

Langkah 3

Persamaan ( 4) disubsitusikan ke persamaan (3), diperoleh

       y = 2x – 4

      Û y = 2(2) – 4

      Û y = 0

      Jadi penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah x = 2 dan y = 0